Menghitung Luas dan Volume Maksimum pada bidang tertentu (Differensial)

Pada saat latihan kalkulus, ada soal sebagai berikut :

Seseorang menerima hadiah sebidang tanah. Ia bebas memilih ukuran panjang dan lebar tahan tersebut asalkan kelilingnyya tidak melebihi 100 meter. Hitunglah panjang dan lebar agar ia mendapat luas maksimal.

Jawab :
Kita misalkan panjang = x, maka :
k = 2p +2l
100 = 2x + 2l
2l = 100-2x
l = 50-xRumus Luas = p * l
= x (50-x)
= 50x - x²

y = 50x - x² ; Untuk mencari titik ekstrim y' = 0
y' = 50 - 2x = 0
- 2x = - 50
x = -50/-2 = 25

Jadi agar mencapai luas maksimum, panjangnya = x = 25 meter;
sedangkan lebarnya = 50 - x = 50 - 25 = 25 meter

Mudah bukan ?

Rasanya tidak akan ada masalah dengan soal seperti ini :). Tapi saat ujian soalnya sedikit berbeda, walaupun masih merupakan pengembangan dari contoh soal di atas.

Begini soalnya :
Hayoo silahkan dicoba mengerjakan soal di atas.

Begini jawabannya :
Diketahui. tinggi = x
maka yang akan menjadi sisi-sisi alasnya = 120 - 2x

Volume = Luas alas * tinggi
= (120 - 2x)² * x
= (14400 - 480x + 4x²) x
= 4x³ - 480x² + 14400x

y = 4x³ - 480x² + 14400x
y' = 12x² -960x + 14400

Untuk mencari titik ekstrim, y'=0
12x² - 960x + 14400 = 0
agar lebih mudah kita bisa :12 (baca: bagi 12), shg :
x² - 80x + 1200 = 0
(x - 60) (x - 20) = 0
x - 60 = 0 atau x - 20 = 0
x = 60 atau x = 20

Untuk x=60 -> Volume = y = 4(60)³ - 480(60)² + 14400 (60)
= 864000 - 1728000 + 864000
= 0
Titik balik minimum (60,0)

Untuk x=20 -> Volume = y = 4(20)³ - 480(20)² + 14400 (20)
= 32000 - 192000 + 288000
= 128000
Titik balik maksimum (20,128000)

Jadi agar memperoleh volume maksimum sebesar 128000 cm³, nilai x = 20 cm

Selesai......

Sumber inspirasi :

http://www.ehow.com/how_4527115_sheet-of-type-of-material.html
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/BoxVolume.shtml